英国数学家戈弗雷·哈代和约翰·李特尔伍德在1921年提出一个与波利尼亚克猜想类似的猜想,现在通称为“哈代-李特尔伍德猜想”或“强孪生素数猜想”(即孪生素数猜想的强化版)。这一猜想不仅提出孪生素数有无穷多对,而且还给出其渐近分布形式。由于孪生素数的分布极不均匀,并且随着数的增大变得越来越稀疏,研究孪生素数分布模式的难度也就非常之大。
在证明孪生素数猜想上的阶段性成果,一般地说可以分为两类。一类是非估算性的,这方面迄今最好的结果是1966年由中国数学家陈景润利用筛法所取得的。他证明了:存在无穷多个素数p,使得p+2要么是素数,要么是两个素数的乘积。这个结果的形式与他关于哥德巴赫猜想的结果很类似。目前一般认为,由于筛法本身的局限性,这一结果在筛法范围内很难被超越。
另一类是估算性的,美国数学家丹尼尔·戈德斯坦及其合作者所取得的结果就属于这一类。这类结果估算的是相邻素数之间的最小间隔。2005年,戈德斯坦等人提出一个重要猜想:存在无穷多间隔小于16的素数对。假设关于算术级数素数分布的埃利奥特-哈伯斯塔姆猜想成立,这一弱孪生素数猜想就可以证明了。这算是一项具有里程碑意义的成果,但可能存在逻辑推论上的瑕疵破绽。美国数论专家多里安·戈德菲尔特曾指出:“他们假定了一个没有人知道如何证明的猜想。”他们提出的弱孪生素数猜想迄今尚未得到证明。
B、华裔科学家取得了重大突破
2013年4月,美国新罕布什尔大学讲师张益唐将一篇题为“素数之间的有界距离”(Bounded gaps between primes)的论文投稿给世界顶级数学期刊《数学年刊》。他证明了:存在无穷多个之差小于7000万的素数对。由于这项成果很重要,论文很快就被录用了。